Robert Flemyng était un acteur anglais, né Benjamin Arthur Flemyng à Liverpool (Angleterre), décédé à Londres (Angleterre).
Dans les années 1930, Robert Flemyng débute au théâtre en Angleterre, où il se produira régulièrement. Entre 1938 et 1957, il joue dans six pièces à Broadway (New York), dont trois mises en scène par John Gielgud. Mentionnons The Cocktail Party (en) de T. S. Eliot, créée à Broadway en janvier 1950 et représentée 409 fois jusqu'en janvier 1951, où Robert Flemyng tient le rôle principal d'Edward Chamberlayne, aux côtés d'Alec Guiness et Cathleen Nesbitt.