Son véritable nom est Ian Colquhoun Wilson. Il est le fils de Euphemia Colquhoun et de John Wilson. Richard Wilson a une soeur ainée prénommée Moira.

Richard Wilson a quitté l'école à 17 ans pour devenir technicien de laboratoire.

En 1957, il fait son service militaire dans le Royal Army Medical Corps à Singapour. Après avoir été chercheur scientifique à Glasgow pendant 10 ans, sa passion pour le théâtre est la plus forte et en 1963, à l'âge de 27 ans, il se forme en tant qu'acteur à la Royal Academy of Dramatic Art.

En 1973, il obtient son premier rôle important à la télévision en interprétant Jeremy Parsons dans la série Crown Court. En 1987, il joue le rôle d'Eddie Clockery dans la série Tutti Frutti, sa carrière décole. Mais son rôle le plus marquant reste celui de Victor Meldrew dans la série One Foot in the Grave, il interprètera ce personnage pendant 10 ans.

En 2008, il interprète le rôle de Gaius dans la série Merlin.